관망해석의 기초

Ⅰ. 관망해석의 기초

관망해석의 목적

관망(管網)이란 배수관로의 근간이 되는 폐합관로(loop)가 있는 망(網, network) 형태뿐만 아니라, 광역상수도 관로와 같은 수지(樹枝, branched)형의 관로도 포함하는 광의의 개념이다.

관망해석의 목적은 관로내 각 지점에서 관경, 관 길이, 유속계수, 밸브상태, 펌프의 운전상태 등을 알고 있는 조건하에서 유량 및 동수두를 계산하여 관로를 통하여 흐르는 물이 안정되게 공급되는가를 확인하기 위함이다.

관망해석의 기초방정식

관망해석은, 앞에서 언급한 바와 같이 주어진 관경 D, 관연장 L 및 관내벽면 상태 C (조도계수)를 갖는 관로로 구성되어있는 관망 내에서 저수지, 배수기지 수위 또는 특정 절점의 수두와 각 절점에서의 유출수량의 주어진 조건 하에서 각 지점에 대한 물의 흐름 및 수압상태를 명확하게 계산하는 것을 가리킨다. 그 경우의 기초방정식은, ① 관망을 구성하는 각 관로의 흐름에 따라서 D, L, C와 유량 Q, 손실수두 H가 만족해야하는 방정식(손실수두 계산식)과, ② 이들의 관로가 관망을 구성했을 때의 흐름이 만족해야할 방정식(수치해석법)으로 구성된다. 앞에서 언급하였듯이 관수로의 흐름은 유량(Q),

손실수두(H), 관경(D), 관길이(L), 조도계수(C)라고 하는 5개의 변수에 따라 표현된다. 이중 관망해석에서는 D, L, C를 아는 값으로 가정하기 때문에 남은 변수, 즉 Q와 H가 미지수가 된다.

여기에서 H를 소거하고 Q를 미지수로 했을 경우를 유량법(流量法) 즉 관로 유량을 미지수로 한 해석법이라 하고, 이것에 대해 Q를 소거하여 H를 미지수로 하여 수식화하면 수두법(水頭法) 즉 절점의 수두를 미지수로 한 해석법이라 한다.

- 유량법의 기초방정식

관로에 발생하는 손실수두를 HL이라 할 때, 유량법에 의한 수두손실 식은 다음 식과 같다.

또한, 이 식을 흐름의 방향을 고려하여 나타내면 다음 식과 같게 된다.

위 식에서 각각 상수와 지수인 Ki와 n은 적용하는 공식에 따라 다른데 통상적으로 사용하는 Hazen-Williams식은 다음과 같게 된다.

- 수두법의 기초방정식

유량법과는 반대로 유량 Q에 대하여 손실수두 H를 미지수로 하는 지수형 식을 도입한 수두법에 대한 방정식은 절점 i와 j를 연결하는 관로의 유량 Qij

와 손실수두 Hij의 관계는 다음 식과 같이 표현된다.

여기에서 Qij의 첨자 ij는 유량이 i절점에서 j절점으로 흐른다는 것을 의미한다. 이 식을 유량법에서와 같이 흐름의 방향을 고려하여 나타내면 다음 식과 같게 된다.

여기에서 상수항인 Rij와 지수인 n은 Hazen-Williams식에서는 다음과 같이 표현된다.

관망내 수질변화 해석(Water Quality Modeling)의 기초

수질변화 해석은 수리 관망해석의 직접적인 연장선상에 있으며 매우 유용하게 이용할 수 있다. 관내 유량과 관로내에서 물의 이송경로를 나타내는 흐름 방향은 혼합, 잔류시간을 결정하는데 이용되며, 다른 수리적 특성들도 오염원의 이송과 농도감소에 영향을 준다. 수리해석의 시간변화모의의 결과를수질해석의 시작점으로서 이용할 수 있다.

- 관로내에서의 이송

대부분의 수질모델에서는 관로내 이송으로 인한성분 농도의 변화를 예측하고 반응물질의 형성과 농도감소를 계산하기 위하여 일차원의 흐름-반응 이송

을 이용한다. 다음 식은 관로번호 i에서의 농도를 거리(x)와 시간(t)의 함수로서 나타내기 위한 식이다.

여기에서 Ci = 관로 i에서의 농도(M/L3)

Qi = 관로 i에서의 유량(L3/T)

Ai = 관로 i에서의 단면적(L2)

θ(Ci)= 농도 항(M/L3/T)

- 탱크에서의 혼합

관로는 종종 단순관로는 물론 조절지나 탱크에도 연결된다. 다시 한번, 탱크에 유입되고 유출되는 상황에 대하여 질량보존법칙을 적용하면 다음과 같은식을 구할 수 있다.

여기에서 Ck = 탱크 k에서의 농도(M/L3)

Qi = 관로 i에서 유입하는 유량(L3/T)

Vk = 탱크 k에서의 체적(L3)

θ(Ck)= 농도 항(M/L3/T)

- 화학반응

위에서 설명한 농도의 항은 물에서의 화학반응을 나타낸 것으로서, 물이 정수장을 떠나 관망 내에서 이동을 시작하면 아주 복잡한 물리․화학적 반응과정을 거치게 되는데 이들 대부분이 쉽게 수식화할 수 있는 것들은 아니다. 그러나 이들의 화학적 반응을 모델화하는 데는 주로 3가지로 표현하는데, 그것들은 유체용적반응(bulk fluid reactions), 관체반응(wall reactions) 및 한정적인 반응물질에 의한 형성반응(formation reactions)들이다.

① 용적반응(bulk reactions)

유체용적반응은 유체의 체적내에서 발생하며, 이들은 성분농도, 반응율과 차수 및 형성물질의 농도의 함수가 된다. 용적반응에 대하여 n차 함수로 표현되는 일반적인 반응식은 다음과 같다.

여기에서 θ(C) = 반응항(ML3/T)

k = 반응계수, C = 농도(M/L3)

n = 반응차수

이 식에서 k는 반응계수로서 형성반응(formation reaction)을 하면 양(+)이 되고, 감소반응(decay reaction)이면 음(-)의 기호를 갖는다.

② 용적 및 관체반응(bulk and wall reactions)

관망해석에서 수질모델로서 가장 많이 사용하는 것이 소독반응이다. 처리된 물이 정수장을 떠나 관망으로 이동하면 여러 가지 화학반응을 하게된다.

EPANET 관망해석 프로그램 기본방정식

EPANET 모델에서는 관망해석을 위한 수치해석법으로 ‘hybrid node-loop’ 기법을 이용하였다. 이와 같은 새롭게 개발된 수치해석 기법 들이 거의 유사하나 Todine의 방정식이 좀 더 간단하여 EPANET에서는 이를 수치해석을 위한 기본방정식으로 채택하였다.

Ⅱ. 컴퓨터 모델의 구축

관수로의 흐름해석은 다음의 4단계로 구성된다.

(1) 관망해석을 위한 자료(data) 수집

(2) 컴퓨터 모델의 구축

(3) 모델의 보정과 검증

(4) 모델의 적용(해석수행)

Ⅲ. 수도시설의 구성요소

관망(Network)이란 개념은 관망해석에서 가장 기본이 되는 개념으로서, 관망에는 수도시설의 모든 시설, 설비 등의 구성요소들이 포함되는데 모델에서는

이들 구성요소들의 상호 연결성으로 관계를 표현한다. 즉, 관망의 모든 구성요소들은 계통내 특정 지점을 일컫는 절점(node)과 절점 사이의 연결요소(link)로 구성된다.

수도시설은 분기점, 관경 또는 관종 변화지점, 저수지, 정수장, 배수지, 펌프장, 밸브설치 지점 등 여러 가지 구성요소들로 이루어져 있다. 이들 구성요소들은 위에서 언급한 바와 같이 절점과 링크(link)로 구성되어 있다.

미소 손실

관로시스템에는 밸브, 곡관, 유량계 등의 여러 장치에 의한 손실이 발생하게 되는데, 관로의 해석에 있어서 이러한 미소 손실을 고려해야 할 필요성이 있을 수 있다. 미소 손실을 관로해석에 포함시켜야할 것인가는 그 시스템에 차지하는 비중에 따라서 사용자들이 스스로 판단하여야 할 것이다. 관로 내의

개별 설비나 곡관 등에서 생기는 각각의 미소손실을 개별적으로 관망해석에 포함하는 것은 비효율적이고 정확성 향상에 크게 도움이 되는 것도 아니다. 대신에, 통상의 관망해석에서는 관로구간에서 발생하는 미소손실 계수의 합을 입력한다. 관로의 해석에 있어서 사용하는 것은 각 구간의 손실계수(f)값으로서 다음과 같이 표시된다.

여기에서 hLM : 관내 장치에 의한 미소 손실(m),

f : 손실계수

v : 관내 유속(m/sec)

g : 중력가속도

Ⅳ. 관망해석의 형태

기본적인 요소와 관망의 자료를 수집하고 나면, 모델의 더 많은 자료의 수집여부는 해석의 목적에 따라 달라지게 된다. 해석을 수행하고자 하는 사람의

의도와 예측하고자 하는 목적에 따라 모의의 형태는 여러 가지가 있게 된다. 가장 기본적인 모델의 형태는 다음과 같다.

∙ 고정상태 모의(Steady-State Simulation) - 시간에 따라 계통내 유량과 경계조건이 변하지 않는다고 가정하고 시스템의 상태(유량, 압력, 펌프 가동형식, 밸브 개도)를 계산하는 기법이다.

∙ 시간변화 모의(Extended Period Simulation, EPS) - 시간에 따라 계통내의 준-동적 거동(quasi-dynamic behavior)을 결정하는 것으로서, 시간에 따라 계통내 유량과 경계조건이 일련의 고정상태가 변경되는 것으로 계통을 해석하는 것이다.

Ⅴ. 범용 관망해석 프로그램

관로시스템에 대한 최근의 연구 및 운영방향은 원격감시(Telemetering)를 통하여 송배수 관로시스템의 주요 위치별 수압 및 유량 등의 자료를 수집한 후 관망해석 모형을 이용하여 우리가 원하는 목적에 가장 부합하는 최적의 설계 및 운영방식을 선택하는 것이다. 현재 세계적으로 널리 사용되거나 자료의 수집이 가능했던 관로시스템의 설계 및 운영에 관련된 프로그램에 대해서 기술하고 이를 비교 검토하기로 한다.

- Kentucky Pipe Network(KYPIPE)

관로시스템의 정상류에 대한 유량 및 수압계산을 위한 프로그램으로 관로시스템에서의 초기 유량 값을 가정하지 않으며 각 관로에 대한 절점유량 방정식과 에너지방정식을 선형화기법을 이용하여 전체 관망에 대한 행렬식을 만들어 Gaussian-Elimination법에 의하여 선형연립방정식을 해석함으로써 전체관로의 유량과 수두를 계산한다. 본 프로그램의 특징으로는 저수조, 펌프, 밸브 등의 관로부속물을 고려하여 모든 형태의 관망을 해석할 수 있으며 해(Solution)에 대한 수렴성이 양호하다. 또한 장래 수요량의 변화에 따른 배수지의 수위변화를 예측할 수 있는 확장기간모의(Extended Period Simulation)기능을 가지고 있다.

- EPANET

KYPIPE 모형을 기본 프로그램으로 하여 관망의 물리적 특성인 관경, 관길이, 조도계수, 용수사용량을 이용하여 절점별, 시간별 수리적 특성인 유량과 압력을 계산하고, 계산된 수리학적 조건에 따른 수질 변화를 모의할 수 있게 하였다.

- WaterCAD & CYBERNET

관로시스템의 정상류해석 프로그램으로 윈도우, 윈도우95 및 윈도우NT 환경하에서 AutoCAD, Microstation 등과 연결하여 그래픽을 이용한 관로시스템 자료의 구축이 가능하다. 또한 시간변화에 따른 배수지 수위를 모의할 수 있고 수질모델링의 수행이 가능하고, 해석결과는 워크시트 및 그래프 등으로 출력된다. KYPIPE 및 EPANET 등의 기존 자료와 호환성을 가지고 있어 이를 Import하여 사용할 수 있다.

- USU Pipe Network

본 프로그램은 미국의 Utah State University의 R. Jeppson에 의해 개발되었으며 컴퓨터 언어는 Fortran과 C언어로 되어 있으나 소스코드가 제공되지 않고 판매되고 있다.

- SWS & SynerGEE

확장기간모의에 바탕을 둔 정상류 해석 프로그램으로 현재 SynerGEE라는 이름으로 바뀌었다. 정상류상태와 압력 및 유량이 시간에 따라 변화하는 관내의 유체이동에 대한 해석이 가능하며, 각종 자료 및 결과를 화면상에 도형적으로 나타낸다.

-WADISO

관로시스템의 각 관로에 대한 유량 및 에너지방정식을 비선형 방정식으로 구성하고, 이를 수치해석 함으로써 수두를 결정한 다음, 각 절점에서의 유량을 환산하며 관로의 손실수두는 Hazen-Williams식을 사용한다. 관망설계 시 압력, 유량의 변화에 따른 관경에 대한 모의기능이 있으며 폄프운영에 따른 유량과 압력의 모의도 가능하다. 확장기간 모의기능 및 관로시스템의 설계단계에서 필요한 사항을 본 프로그램을 이용하여 해

결할 수 있도록 구성되어 있다. 공개프로그램인 WADISO는 관경결정과 관갱생에서의 최적화에 중점을 두었다.

- FLOWMASTER

정상류 및 부정류의 수리해석 뿐만 아니라 항공기 시스템 및 기체의 이동과 같은 거의 모든 유체를 해석하는데 이용되고 있는 프로그램이다.

- WESNET

이 프로그램은 영국 등 거의 모든 유럽국가에서 널리 이용되고 있는 관망해석프로그램으로 복잡한 관로의 운영관리에 맞도록 설계되어 펌프, 밸브 및 설비의 거동을 잘 다룰 수 있다.

Ⅵ. 관망해석 프로그램 수행을 위한 입력자료 작성

프로그램 수행을 위한 기본 입력자료 관로시스템을 위한 컴퓨터 프로그램의 수행에 있어서 가장 많은 시간이 소요되는 과정은 전체 관로 시스템의 형태를 표시하는 현장 자료와 컴퓨터에 입력하여야 할 자료의 수집으로서, 이 부분이 오류(error)의 발생 가능성이 가장 많기 때문에, 특히 자료의 정리와 입력 시에 신중을 기하여야 한다. 해석하고자 하는 관로시스템이 잘 요약되어 있을 때 모델링 작업 또한 쉽게 이루어질 수 있으며, 계산하고자 하는 목적에 따라 자료 또한 달라질 수 있으므로 해석의 목적을 사전에 정확히 파악한 후에 자료를 수집, 정리, 입력하여 프로그램을 수행하여야 한다.

Ⅶ. 관망해석 모델의 보정(Calibration)

필요한 자료를 수집하여 관망해석을 수행하였다고 할지라도, 모델 수행자는 이 모델이 수학적으로 정확하게 해당관망을 표현했다고 확신할 수 없는 경우가 대부분이다. 수리학적 모의 Software는 단순히 제공된 자료를 이용하여 연속 및 에너지방정식을 푸는 것에 불과하므로, 입력자료의 질(質)이 계산결과의 질과 직접 연계된다. 수리학적 모델의 정확도는 이것이 잘 보정(calibration) 되었는가에 달려 있으며, 따라서 보정해석은 의사결정을 위한 모델작업을 수행하기 전에 반드시 수행하여야 하는 과정이다. 보정은 모델의 결과와 현장의 관측치를 비교하는 과정이며, 만일 필요하다면 여러 가지 가동조건 하에서 예측한 모델의 거동이 적정한 정확도 범위에 들 때까지 수정을 계속하는 작업이다. 보정의 과정은 계통내 공급량, 관로의 조도계수, 펌프의 운전특성 및 모의(simulation)의 결과에 영향을 주는 다른 요소들을 변경하면서 진행한다.

Ⅷ. GIS를 이용한 모델구축

GIS 모델 배수관망의 해석을 위하여 반드시 입력하여야 할 내용은 다음과 같다.

관망해석을 위한 모델 구축을 위해서는 우선 관망도가 있어야 한다. 모델구축에는 직접입력 등 여러가지가 있으나, 여기에서는 GIS를 구축하지 않은 지방자치단체에서도 활용할 수 있도록 CAD 파일로 작성된 관망도면을 활용한다.

- 관로 및 절점의 위상생성

작성된 관망도를 GIS로 파일로 변환한 후 관로 및 절점에 대한 위상(topology)를 생성하여야 한다. 이 과정을 통하여 입력된 도면들의 각 좌표들은 선-절점 위상구조(arc-node topology), 즉 선, 절점, 다각형, 대표점 등의 공간적 관계가 형성되게 된다. 공간데이터는 많은 오류들이 포함되어 있기 때문에 유용한 자료로 활용하기 위해서는 이러한 모든 오류들을 반드시 수정하여야 한다. 오류 수정과정은 일반적으로 「위상생성 → 오류확인 → 오류수정 →위상재구축」등의 4단계를 거친다.

- DEM 작성과 DEM을 이용한 표고설정

절점의 표고는 지리정보의 등고선과 표고점을 활용하여 디지털표고모델(DEM, digital elevation models)을 활용하여 자동으로 각 절점과 연계하여

database화하도록 한다. 절점의 유출량은 실제 지방자치단체에서 활용중인 수용가 정보 및 검침 database를 활용하고자 하는데 여기에서는 GIS의 geocoding 기법을 활용한다. 관망해석에서는 각 절점에서의 표고(elevation)이 주요한 역할을 하게 되나, 모든 지점의 표고 값을 직접 측량할 수 없기 때문에 일반적으로는 기존의 도면에서 주위의 표고점이나 등고선을 이용하여 간접적으로 구하고 있다. 본 연구에서는 이와같은 기존의 방법을 개선하기 위해서 GIS의 TIN(Triangular Irregular Network)과 DEM(Digital Elevation Model)을 활용하여 자동으로 절점표고와 연계하도록 하고자 한다.

GIS를 이용한 표고자료의 획득은 공간추정의 기능을 활용하는 것으로서, 공간추정이란 공간상에 존재하는 각종 자료를 활용하여 새로운 정보를 생성하

는 것이다. 따라서 공간추정은 기존에 알고 있는 특정 지점이나 지역의 속성값을 이용하여 알려지지 않은 지점이나 지역의 속성값을 추정하는 것을 포함한다.

- TIN과 DEM의 정의

TIN은 불규칙하게 분포된 위치에서 표고를 추출하여 이들 위치를 중첩되지 않는 연속적인 삼각형의 형태로 연결하여 전체 지형을 표현하는 방식이다. 그 원리는 고도값이 측정된 불규칙한 점들을 델로니(delaunay) 삼각법에 따라 연속적인 삼각면으로 연결시켜 3차원으로 표현한 모형이다. 여기에서 델로니 삼각법이란 외접하는 원 내부에 삼각형의 꼭지점 외에 다른 점이 없게 하는 원리를 말한다. TIN의 특징은 벡터구조로서 지형데이터의 표현을 위한 위상을 갖추었다는 점이다. DEM은 지형정보를 처리하는 또 다른 보편적인 방법으로서 지형의 연속적인 기복변화를 수치로 표현한 것을 수치표고모형(DEM) 자료라고 말한다. DEM은 삼각형 구조를 갖는 TIN과 달리 격자방식으로 저장되어 활용된다는 것이다. 즉, DEM은 고도값의 표현에 있어서 동일한 밀도의 동일한 크기의 격자를 활용한다.

- DEM 표고와 관망해석을 위한 절점표고와의 연계

수치표고모델을 이용하여 관망해석을 위한 절점의 data의 취득을 위해서는 먼저 수치도면을 이용하여 DEM을 만들어야 한다.

- 물사용량 자료 입력

배수관망의 해석에 있어서 중요한 요소 중의 하나인 절점에서의 물사용량에 대한 정보를 입력하는 것이다. 광역상수도의 경우 수용가별 물사용량을 직접

입력하는 것이 어려운 일은 아니나 대규모 도시의 경우 절점마다 물사용량을 입력하는 것은 쉽지 않은 작업이기 때문에 GIS와 같은 지형 및 속성정보가 구축된 Database를 활용하는 것이 가장 효율적인 방법일 것이다.

- 자료의 준비

GIS를 이용한 관망해석모델 구축을 위하여 먼저 각종 자료들이 준비되어야 한다.

- 절점 및 관로 Database 작성

모델을 구축하기 위해서 절점 및 관로에 대한 database를  GIS 응용기법을 이용하여 자동으로 구축하는 것이므로 무엇보다 중요한 것이 관망도에 대한 수치도면이며, 특히 관경별로 다른 layer로 구성되어야 한다.

- 절점(node)의 표고값 생성

관망해석은 위치수두와 압력수두의 합인 동수두 위치에 따라 흐르는 물의 양과 방향 등이 정해지게 되므로 각 절점의 위치수두(표고 값)을 반드시 입력하여야 한다. 그러나, 관로의 분기점, 관경변화 점 등 개별 절점에서의 표고 값은 관리되고 있지 않기 때문에 관망해석의 주된 오류의 원인이 되고 있다.

- 관망해석 data 작성

이상과 같은 작업을 통해 얻어지는 data file은 Database 파일의 형태를 가지게 되며, 이를 이용하여 관망해석 파일을 만들 수 있게 되며, 또한 향후 구축 하게 될 수도시설 GIS 시스템과도 직접적으로 연계할수 있다. 결과적으로 만들어진 관망해석 파일은 절점(junction) 989개, 수원(reservoir) 3개, 탱크 1개, 관로(pipe) 1337개, 펌프 2개의 상당히 규모가 큰 data로

구성되었다.